Matematica II Corso 2020/2021

Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica

Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
A.A. 2020/21



AVVISI

Esiti dell'appello del 16 marzo. I voti maggiori o uguali a 18 si intendono accettati. Per rifiutare il voto scrivere una mail al docente. 



Il docente ha aperto una simulazione di esame su Exam.net con codice di accesso: ojAee4. Si consiglia vivamente di esercitarsi a caricare più foto, a controllarne la qualità, ad effettuare la consegna. In sede d'esame NON saranno accettate altre forme  di consegna.

Si ricorda a tutti gli studenti che, se non si è fatto durante la lezione del 11 maggio, è doveroso compilare il questionario OPIS relativo al corso. Il codice della materia è R5JH62DD.


Link Zoom:

https://uniroma1.zoom.us/j/82955530481?pwd=aU9BUWNKVEtyWHRBVHZ2anZjQ2ovdz09

Si invitano cortesemente gli studenti a distanza ad accedere alla stanza Zoom della lezione usando il proprio account Uniroma1.


Ricevimento: su appuntamento per email a fabio.felici@uniroma1.it



Orario delle lezioni:

Martedì            14:30 - 18:00          Aula 1 (Gini)
Venerdì            14:30 - 17:00          Aula III


Prove d'esame

Esonero del 1 Giugno 2021       Prova1      Prova2       Prova3
Appello del 26 giugno               Prova1       Prova2
Appello del 17 luglio                 Prova1       Prova2
Appello del 4 settembre             Testo
Appello del 6 novembre            Testo


Prerequisiti:


Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. Algebra lineare.


Programma di massima del corso:

Fondazione dei numeri reali: assiomi di campo numerico, assiomi di ordinamento, assioma di continuità. Topologia della retta reale. Proprietà dei numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: grafici e proprietà. Limiti di funzioni. Continuità delle funzioni. Calcolo differenziale. Asintoti. Grafici di funzioni reali di una variabile reale. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Successioni numeriche. Serie numeriche. Calcolo integrale. Equazioni differenziali.



Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:

  • Analisi Matematica Uno, Cigliola, Ed. La Dotta
  • Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editrice.
  • Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editrice.


Diario delle lezioni.


LEZIONE 1 - Martedì 23/02/2021

Insiemi numerici: N, Z, e Q. Numeri decimali periodici. Irrazionalità di radice di 2 e sua dimostrazione. Interpretazione geometrica della irrazionalità di radice di 2. Postulato dell'esistenza di un campo ordinato e completo: l'insieme dei numeri reali: (R, +, ⋅, ⩽). Assiomi di campo e assiomi di ordinamento. Proprietà delle operazioni: unicità dello zero, di uno, dell'opposto e dell'inverso; leggi di cancellazione; legge di annullamento del prodotto. Proprietà dell'ordinamento. Introduzione delle relazioni d'ordine ⩾, <, > . Numeri positivi e numeri negativi. Principi di equivalenza delle disuguaglianze. Esercizi con le disequazioni algebriche.

LEZIONE 2 - Venerdì 26/02/2021

Assioma di continuità. In Q l'assioma di continuità non è vero: controesempio di radice di 2. Applicazione dell'assioma di continuità per provare che radice di 2 è un numero reale. Teorema della radice n-esima. Ripasso delle disequazioni algebriche e disequazioni fratte.

LEZIONE 3 - Martedì 02/03/2021

Intervalli di R. Valore assoluto. Proprietà. Disuguaglianza triangolare. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Unicità del massimo e del minimo. Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente e limitati inferiormente. Insiemi limitati. Insiemi illimitati superiormente e illimitati inferiormente. Caratterizzazione degli insiemi limitati. Estremo superiore ed estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo inferiore. Esercizio su estremo superiore ed estremo inferiore. Sistemi di disequazioni. Disequazioni con valore assoluto.

LEZIONE 4 - Martedì 09/03/2021

Esercizi di calcolo di estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme. Proprietà di Archimede. Proprietà di densità di Q in R. Proprietà di densità di R - Q in R. Topologia. Intorno di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Equazioni e disequazioni irrazionali.

LEZIONE 5 - Venerdì 12/03/2021

Esercizio di topologia. Richiami sull'esponenziale. Equazioni e disequazioni esponenziali. 

LEZIONE 6 - Martedì 16/03/2021

Didattica a distanza. Funzioni. Funzione identica. Funzione costante. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni definite a tratti. Restrizione di una funzione. Dominio naturale (insieme di definizione) di una funzione. Immagine di un sottoinsieme del dominio. Controimmagine di un elemento e di un sottoinsieme dell'insieme di arrivo. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni pari e dispari. Funzioni monotone. Esempi: funzione costante, funzione lineare, funzione quadratica. Richiami sui logaritmi. Proprietà dei logaritmi. Il numero di Nepero e. Espressioni ed equazioni logaritmiche (prima parte).

LEZIONE 7 - Venerdì 19/03/2021

Didattica a distanza. Espressioni ed equazioni logaritmiche (seconda parte). Richiami di goniometria. Equazioni e disequazioni goniometriche.
Esempi di funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Grafici di funzioni elementari: costante, lineare, potenza e radice.

LEZIONE 8 - Martedì 23/03/2021

Didattica a distanza. Funzioni elementari. Funzioni goniometriche e loro inverse. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Altre funzioni: funzione segno, parte intera. Sup e inf di una funzione. Massimi assoluti e minimi assoluti di una funzione. 
Il concetto di limite di funzione. Definizione di limite finito. Esempi ed esercizi.

LEZIONE 9 - Venerdì 26/03/2021

Didattica a distanza. Definizione di limite infinito. Definizione di limite all'infinito. Esempi ed esercizi. Definizione topologica di limite. Teoremi sui limiti: teorema di unicità, teorema di permanenza del segno, teoremi del confronto.

LEZIONE 10 - Martedì 30/03/2021

Didattica a distanza. Teorema dei carabinieri. Algebra di limiti. Limite del valore assoluto. Limite della somma. Limite del prodotto. Limite del reciproco. Limite del rapporto. Esempi. Introduzione alle forme indeterminate.

LEZIONE 11 - Giovedì 01/04/2021

Limite destro e limite sinistro. Limite di funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forma indeterminata 0/0. Limiti di un rapporto di polinomi quando entrambi tendono a 0. Introduzione ai limiti notevoli. Limite notevole sin(x)/x per x che tende a 0. Esercitazione sui limiti notevoli.



LEZIONE 12 - Martedì 13/04/2021

Limite notevole di e e sue conseguenze. Esercitazione sui limiti della forma 0/0. Limiti notevoli all'infinito. Esercitazione sui limiti della forma infinito/infinito. Introduzione alle funzioni continue. Esempi di funzioni discontinue: parte intera e parte frazionaria. Somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni continue è una funzione continua. Composizione di funzioni continue è continua. Continuità della funzione potenza con esponente reale. Continuità dell'inversa di una funzione definita su un intervallo.


LEZIONE 13 - Venerdì 16/04/2021

Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Prolungamento per continuità. Esercitazione sui punti di discontinuità.


LEZIONE 14 - Martedì 20/04/2021

Teoremi sulle funzioni continue. Teorema di Bolzano (o dell'esistenza degli zeri). Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale. Rapporto incrementale. Il concetto di derivata. Esempi di calcolo di derivate. Calcolo delle derivate delle funzioni seno, coseno ed esponenziale. Relazione tra derivabilità e continuità. Esempi di funzioni non derivabili. Regole di derivazione: somma, prodotto, reciproco e divisione. Derivazione delle funzioni composte. Esercizi sul calcolo di derivate.

LEZIONE 15 - Venerdì 23/04/2021

Derivazione della funzione inversa. Derivate di ordine superiore al primo. Classi di regolarità. Punti di massimo e minimo relativo di una funzione. Teorema di Fermat. Il Teorema di Fermat non si inverte: la funzione cubica. Teorema di teorema di Rolle e sua interpretazione geometrica. Teorema di Lagrange (o del valor medio) e sua interpretazione geometrica.

LEZIONE 16 - Martedì 27/04/2021

Esercizi sui teoremi di Rolle e di Lagrange. Se una funzione definita su un intervallo ha derivata nulla, allora è costante. Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo differiscono per una costante. Esempi. Teorema di De L'Hopital. Criterio di derivabilità. La derivata di una funzione derivabile può ammettere solo discontinuità di II specie. Esempi ed esercizi. Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide, punto a tangente verticale.

LEZIONE 17 - Venerdì 30/04/2021

Relazione tra derivata prima e monotonia: se una funzione ha derivata positiva (negativa) su un intervallo, allora è strettamente crescente (decrescente) sull'intervallo. Se una funzione è crescente (decrescente) su un intervallo, allora la sua derivata è positiva (negativa) o nulla. Criterio del primo ordine. Criterio del secondo ordine. Convessità e derivata seconda. Criterio delle derivate successive. Esempi ed esercizi.

LEZIONE 18 - Martedì 04/05/2021

Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio di funzione. Esercizi.

LEZIONE 19 - Venerdì 07/05/2021

Altri esercizi sugli studi di funzione. Il concetto di differenziale. La retta tangente al grafico di una funzione è il miglior polinomio di primo grado che approssima la funzione vicino ad un dato punto. Generalizzazione: polinomi di Mac-Laurin e di Taylor. Definizione ed esempi.

LEZIONE 20 - Martedì 11/05/2021

Definizione di o piccolo. Teorema del resto di Peano. Esempi di applicazione. Teorema del resto di Lagrange. Applicazione: approssimazione del numero di Nepero mediante il polinomio di Taylor della funzione esponenziale. Calcolo integrale. Calcolo dell'area di un rettangoloide sotteso ad una funzione limitata definita su un intervallo chiuso e limitato. Partizione di un intervallo limitato. Somma integrale inferiore e somma integrale superiore relativa ad una partizione. Esempio di calcolo per una funzione costante. Le classi delle somme integrali superiori e delle somme integrali inferiori sono separate. Funzioni integrabili secondo Riemann. La funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Le funzioni continue e le funzioni monotone, definite su un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann. Additività dell'integrale definito rispetto al dominio. Linearità dell'integrale definito rispetto alla funzione integranda. Proprietà di monotonia e di positività dell'integrale definito. Diseguaglianza triangolare generalizzata per l'integrale definito. Teorema della media integrale. Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli-Barrow). Primitiva di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una costante. Formula fondamentale del calcolo integrale.

LEZIONE 21 - Venerdì 14/05/2021

Integrali indefiniti. Aree di semplici regioni piane: parabola, iperbole, sinusoide. Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali.

LEZIONE 22 - Martedì 18/05/2021

Integrazione per parti. Esercitazione sugli integrali. Aree di regioni piane. Esempi. Integrali impropri. Integrali impropri di funzioni continue e positive definite su intervalli di tipo [a,+∞) e su intervalli di tipo (a,b]. Teorema del confronto semplice per gli integrali impropri. Esempi. Teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri.


LEZIONE 23 - Giovedì 20/05/2021 - Recupero

Esempi di applicazione del teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri. Successioni. Definizione di limite. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Limiti di successioni notevoli. Il fattoriale tende a infinito più velocemente della successione esponenziale. Successioni monotone. Ogni successione monotona è convergente o divergente. Teorema ponte.


LEZIONE 24 - Venerdì 21/05/2021

Applicazioni del teorema ponte. Progressione geometrica. Serie numeriche. Definizione di serie. Definizione di somma di una serie. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie regolari. Serie geometrica. Intermezzo storico: il primo paradosso di Zenone (detto "dello stadio"). Serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza di una serie. La serie armonica è divergente. Serie armonica generalizzata. Operazioni con le serie. Serie a termini positivi. Ogni serie a termini positivi è regolare. Criterio del confronto semplice. Criterio del confronto asintotico. Criterio del rapporto. Esempi ed esercizi.


LEZIONE 25 - Martedì 25/05/2021

Criterio della radice. Esercizi sulle serie numeriche. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problemi di Cauchy. Esempi ed esercizi.

LEZIONE 26 - Giovedì 27/05/2021 - Recupero

Equazioni lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Esercitazione di riepilogo.


LEZIONE 27 - Venerdì 28/05/2021

Esercitazione di riepilogo


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