Matematica II Corso 2021/2022

Facoltà di Ingegneria dell'Informazione, Informatica e Statistica

Sapienza Università di Roma

Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
A.A. 2021/22

AVVISI

NEW!!! Nel nuovo A. A. 2022/23 il corso di Matematica 2 - SEFA sarà tenuto dal Prof. Vincenzo Nesi.  La prima sessione di esami dell'anno sarà il 14 febbraio.

NEW! Esiti dell'appello del 20 gennaio. I voti maggiori uguali a 18 si intendono accettati. Per rifiutare il voto scrivere una mail al docente entro il 1 febbraio.

Si ricorda a tutti gli studenti che, se non si è fatto durante la lezione del 3 maggio, è doveroso compilare il questionario OPIS relativo al corso. Il codice della materia è FPIBEBIT.

https://uniroma1.zoom.us/j/82648151811?pwd=THNkU2VyWEVScEZCbWhqN0t1aWZiUT09

Si invitano cortesemente gli studenti a distanza ad accedere alla stanza Zoom della lezione usando il proprio account Uniroma1.

Ricevimento: su appuntamento per email a fabio.felici@uniroma1.it

Orario delle lezioni:

Martedì            14:30 - 18:00          Aula 1 (Gini)
Venerdì            14:30 - 17:00          Aula III

Prove d'esame

Appello del 20 giugno               Prova1       Prova2

Appello del 18 luglio                 Prova1       Prova2

Appello del 5 settembre             Testo           

Prerequisiti:

Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. Algebra lineare.

Programma di massima del corso:

Fondazione dei numeri reali: assiomi di campo numerico, assiomi di ordinamento, assioma di continuità. Topologia della retta reale. Proprietà dei numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: grafici e proprietà. Limiti di funzioni. Continuità delle funzioni. Calcolo differenziale. Asintoti. Grafici di funzioni reali di una variabile reale. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Successioni numeriche. Serie numeriche. Calcolo integrale. Equazioni differenziali.

Libro di testo adottato:

• Analisi Matematica Uno, Cigliola, Ed. La Dotta

Materiale didattico consigliato:

• Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri Editrice.
• Marcellini, Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editrice.

Diario delle lezioni.

LEZIONE 1 - Martedì 22/02/2022

Insiemi numerici: N, Z, e Q. Numeri decimali periodici. Irrazionalità di radice di 2 e sua dimostrazione. Interpretazione geometrica della irrazionalità di radice di 2. Postulato dell'esistenza di un campo ordinato e completo: l'insieme dei numeri reali: (R, +, ⋅, ⩽). Assiomi di campo e assiomi di ordinamento. Proprietà delle operazioni: leggi di cancellazione; legge di annullamento del prodotto. Proprietà dell'ordinamento. Principi di equivalenza delle disuguaglianze.

Ripasso delle disequazioni algebriche, disequazioni fratte e dei sistemi di disequazioni.

LEZIONE 2 - Venerdì 25/02/2022

Assioma di continuità. In Q l'assioma di continuità non è vero: controesempio di radice di 2. Applicazione dell'assioma di continuità per provare che radice di 2 è un numero reale mediante le due classi separate di approssimazioni razionali per difetto e per eccesso (cenni senza dimostrazione). Teorema della radice n-esima. Intervalli di R. Valore assoluto. Proprietà del valore assoluto. Disuguaglianza triangolare (con dimostrazione).

Ripasso delle equazioni e disequazioni con il valore assoluto.

LEZIONE 3 - Martedì 01/03/2022

Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente e limitati inferiormente. Insiemi limitati. Insiemi illimitati superiormente e illimitati inferiormente. Estremo superiore ed estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore (con dimostrazione). Teorema di esistenza dell'estremo inferiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo inferiore. Esercizio su estremo superiore ed estremo inferiore. Lemma di Eudosso-Archimede. Proprietà di densità di Q in R. Proprietà di densità di R-Q in R. Introduzione alla topologia. Intorno di un punto. Ripasso di equazioni e disequazioni irrazionali (prima parte).

LEZIONE 4 - Venerdì 04/03/2022

Topologia. Punti interni, esterni e di frontiera associati ad un insieme. Punti di accumulazione e punti isolati. Esempi. Ripasso di equazioni e disequazioni irrazionali (seconda parte).

LEZIONE 5 - Martedì 08/03/2022

Funzioni. Funzione identica. Funzione costante. Funzioni reali di variabile reale. Esempi: funzione costante, funzione lineare affine, funzione quadratica. Funzioni definite a tratti. Restrizione di una funzione ad un sottoinsieme del dominio. Immagine di una funzione. Controimmagine di un elemento. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni pari e dispari. Funzioni monotone. 

Ripasso della funzione esponenziale. Equazioni e disequazioni esponenziali. 

LEZIONE 6 - Venerdì 11/03/2022

Funzioni invertibili. Grafico della funzione inversa. Esempi di funzione inverse: inversa della funzione lineare affine, inversa della funzione quadratica (radice quadrata). Funzioni elementari e loro grafico: potenza, radice, esponenziali, logaritmi. Richiami di goniometria.

Ripasso dei logaritmi. Proprietà dei logaritmi. Il numero di Nepero e. Equazioni e disequazioni logaritmiche.

LEZIONE 7 - Martedì 15/03/2022

Funzioni elementari. Funzioni goniometriche e loro inverse. Ripasso equazioni e disequazioni goniometriche. Altre funzioni: funzione segno, parte intera.  

Il concetto di limite di funzione. Definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito. Esempi.

LEZIONE 8 - Venerdì 18/03/2022

Definizioni di limite infinito. Definizioni di limite all'infinito. Esempi. Teoremi sui limiti: teorema di unicità (con dimostrazione), teorema di permanenza del segno (con dimostrazione), primo teorema del confronto.

LEZIONE 9 - Martedì 22/03/2022

Limite destro e limite sinistro. Teoremi del confronto. Teorema dei carabinieri (con dimostrazione). Esempi di applicazione dei teoremi del confronto. Algebra di limiti: limite della somma (con dimostrazione), del prodotto e del rapporto. Esempi. Limiti delle funzioni elementari. Algebra dei limiti nei casi singolari. Esempi. Introduzione alle forme indeterminate: infinito - infinito, 0/0, infinito/infinito. Limiti di un rapporto di polinomi quando entrambi tendono a 0. Limiti di un rapporto di polinomi quando x tende a infinito. 

LEZIONE 10 - Venerdì 25/03/2022

Limiti notevoli all'infinito: logaritmo, potenza ed esponenziale. Confronto tra infiniti. Esercizi. Limite notevole sin(x)/x per x che tende a 0 (con dimostrazione) e sue conseguenze. Definizione del numero di Nepero e (cenni). Conseguenze: limiti notevoli della forma 0/0 con logaritmi, esponenziali e potenze.

LEZIONE 11 - Martedì 29/03/2022

Correzione di esercizi sui limiti notevoli. Introduzione alle funzioni continue. Esempi di funzioni discontinue: funzioni definite a tratti e parte intera. Somma, differenza, prodotto e rapporto di funzioni continue è una funzione continua. Composizione di funzioni continue è continua. Continuità della funzione potenza con esponente reale. Continuità dell'inversa di una funzione definita su un intervallo. Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Prolungamento per continuità. Esercitazione sui punti di discontinuità.

LEZIONE 12 - Venerdì 01/04/2022

Correzione di esercizi sulle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue. Teorema di Bolzano (o dell'esistenza degli zeri). Teorema dei valori intermedi (o di Darboux). Teorema di Weierstrass. Introduzione al calcolo differenziale. Rapporto incrementale. Il concetto di derivata. Esempi di calcolo di derivate. Calcolo delle derivate delle funzioni seno, coseno ed esponenziale.

LEZIONE 13 - Martedì 05/04/2022

Relazione tra derivabilità e continuità. Esempi di funzioni non derivabili. Regole di derivazione: somma, prodotto, reciproco e divisione. Derivazione delle funzioni composte. Esercizi sul calcolo di derivate. Derivazione della funzione inversa. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Rolle (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Teorema di Lagrange (con dimostrazione) e sua interpretazione geometrica. Se una funzione definita su un intervallo ha derivata nulla, allora è costante (con dimostrazione). Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo differiscono per una costante. Esempi. 

LEZIONE 14 - Venerdì 08/04/2022

Teorema di De L'Hopital. Esempi ed esercizi di applicazione. Criterio di derivabilità. La derivata di una funzione derivabile può ammettere solo discontinuità di II specie. Relazione tra derivata prima e monotonia: se una funzione ha derivata positiva (negativa) su un intervallo, allora è strettamente crescente (decrescente) sull'intervallo. Se una funzione è crescente (decrescente) su un intervallo, allora la sua derivata è positiva (negativa) o nulla. Punti di massimo e minimo relativo di una funzione. Teorema di Fermat (con dimostrazione). Il Teorema di Fermat non si inverte: la funzione cubica. Criterio del primo ordine.

LEZIONE 15 - Martedì 12/04/2022

Punti di non derivabilità: punto angoloso, cuspide, punto a tangente verticale. Criterio del secondo ordine. Convessità e derivata seconda. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio di funzione. Esercizi.

LEZIONE 16 - Venerdì 22/04/2022

Altri esercizi sugli studi di funzione. 

LEZIONE 17 - Martedì 26/04/2022

Criterio delle derivate successive. Il concetto di differenziale. La retta tangente al grafico di una funzione è il miglior polinomio di primo grado che approssima la funzione vicino ad un dato punto. Generalizzazione: polinomi di Mac-Laurin e di Taylor. Definizione ed esempi. Definizione di o piccolo. Teorema del resto di Peano. Esempi di applicazione. Teorema del resto di Lagrange. Applicazione: approssimazione del numero di Nepero mediante il polinomio di Taylor della funzione esponenziale. Calcolo integrale. Calcolo dell'area di un rettangoloide sotteso ad una funzione limitata definita su un intervallo chiuso e limitato. Partizione di un intervallo limitato. Somma integrale inferiore e somma integrale superiore relativa ad una partizione. Esempio di calcolo per una funzione costante. Le classi delle somme integrali superiori e delle somme integrali inferiori sono separate. Funzioni integrabili secondo Riemann.

LEZIONE 18 - Venerdì 29/04/2022

La funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Le funzioni continue e le funzioni monotone, definite su un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann. Additività dell'integrale definito rispetto al dominio. Linearità dell'integrale definito rispetto alla funzione integranda. Proprietà di monotonia e di positività dell'integrale definito. Diseguaglianza triangolare generalizzata per l'integrale definito. Teorema della media integrale (con dimostrazione). Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale di Torricelli-Barrow (con dimostrazione). Primitiva di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una costante. Formula fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione). Integrali indefiniti. Aree di semplici regioni piane: segmento parabolico, segmento iperbolico. Primitive delle funzioni elementari. Formula di integrazione per sostituzione. Esempi. Integrazione delle funzioni razionali (prima parte).

LEZIONE 19 - Martedì 03/05/2022

Integrazione delle funzioni razionali (seconda parte). Integrazione per parti. Esercitazione su integrali definiti e indefiniti. Area di regioni piane. 

LEZIONE 20 - Martedì 10/05/2022

Altri esercizi su integrali e aree di regioni piane. Integrali impropri. Integrali impropri di funzioni continue e positive definite su intervalli di tipo [a,+∞) e su intervalli di tipo (a,b]. Teorema del confronto semplice per gli integrali impropri. Esempi. Teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri. Esempi.

LEZIONE 21 - Venerdì 13/05/2022

Successioni. Definizione di limite. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Limiti di successioni notevoli. Il fattoriale tende a infinito più velocemente della successione esponenziale. Successioni monotone. Ogni successione monotona è convergente o divergente. Teorema ponte. Applicazioni del teorema ponte. Progressione geometrica. Serie numeriche. Definizione di serie. Definizione di somma di una serie. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie regolari. Serie geometrica. Intermezzo storico: il primo paradosso di Zenone (detto "dello stadio"). Serie di Mengoli, serie telescopiche. Condizione necessaria di convergenza di una serie. La serie armonica è divergente. Serie armonica generalizzata. Operazioni con le serie. Serie a termini positivi. Ogni serie a termini positivi è regolare. Criterio del confronto semplice. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice. Esempi ed esercizi.

LEZIONE 22 - Martedì 17/05/2022

Criterio del rapporto. Serie a termini di segno variabile. Criterio di assoluta convergenza. Criterio di Leibniz. Esercizi sulle serie numeriche. Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali a variabili separabili. Problemi di Cauchy.

LEZIONE 23 - Venerdì 20/05/2022

Cenni sul teorema di esistenza e unicità di Cauchy. Sua applicazione alle equazioni differenziali al primo ordine. Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Esercizi.

LEZIONE 24 - Martedì 24/05/2022

Esercitazione di riepilogo.

LEZIONE 25 - Venerdì 27/05/2022

Esercitazione di riepilogo.